Меню:







Детальный просмотр статьи

Расчёт переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами

1. Для указанной схемы при действии постоянной ЭДС рассчитать токи в ветвях после замыкания ключа:

а) классическим методом;

б) операторным методом.

                2. При действии синусоидальной ЭДС рассчитать ток, протекающий в ветви с ЭДС, методом отделения принужденной составляющей от свободной.

                3. Построить график i(t) для постоянного и переменного тока.

Расчёт переходных процессов в цепях с сосредоточенными параметрами:

Для решения задания приняли:

1) № группы из табл.2.1 - 5    (по последней цифре учебного шифра) ;

2) № схемы из табл. 2.2 - 45   (по последним двум цифрам учебного шифра);

3) Ψ =N·10=45·10=450;   N=45  (по последним двум цифрам учебного шифра).

Рис. 1. Исходная схема для исследования.

Таблица 1. Исходные данные

Параметры

источника           Параметры цепи

Напряжение U, В             Частота f, Гц     Нач. фаза, град.              R1, Ом  R2, Ом  R3, Ом  L, Гн      С, мкФ

60           50           450         300         200         200         0,5          50

1. Расчет классическим методом

В электрической цепи, схема которой приведена на рис.1, а параметры приведены в таблице 1, происходит переходный процесс. На входе цепи действует постоянное напряжение величиной Em= U.

1. Всоответствии с электрической схемой определяем начальные условия.¬¬

iL(-0) =   =   =

Согласно с первым законом коммутации:  iL(-0) = iL(+0)=0,3 А.

UC(-0) = Uab(-0) - iС(-0) ∙R1  = i2(-0) ∙R2  = 0,3∙200 = 60 В,

 где i2(-0)= iL(-0)=0,3 А

Согласно со вторым законом коммутации:  UC(-0) = UC(+0)=60 В

2. Предварительно упростим схему, приведя сопротивление резисторов R2 и R3 к эквивалентному значению:

Тогда схема электрической цепи после коммутации будет иметь вид, как на рис. 2

Рис. 2. Схема цепи после коммутации

3. Определим корни характеристического уравнения.

Для определения корней характеристического уравнения рассмотрим схему после коммутации, причем индуктивное сопротивление формально принято равным рL, а емкостное сопротивление - равным 1/(рС) (рис.3).

Рис. 3.

Для получения характеристического уравнения достаточно составить выражение входного сопротивления ZВХ(р) по отношению к разрыву произвольной ветви и приравнять его к нулю: ZВХ(р)=0 (в ветви с источником напряжения - закоротка). Москва и регионы курсовая на заказ. По отношению к разрыву в ветви с емкостью имеем:

Получили следующее характеристическое уравнение:

В результате подстановки численных значений получим:

р2·50·0,5·10-6·(300+100)+р·(0,5+50·10-6·300·100)+100=0

0,01р2+2р+100=0

р2+200р+10000=0

Находим корни характеристического уравнения:

Так как корни характеристического уравнения получились вещественные, отрицательные и одинаковые, то переходный процесс в электрической цепи будет иметь апериодический характер. А рассматриваемая схема - второго порядка.

1.1.4. Запишем решение в общем виде.

В самом общем виде решение для токов следует искать как сумму принужденной и свободной составляющих:

iL(t) = iLпр+iLcв(t)

iС(t) = iСпр+iСсв(t)

i23(t) = i23пр+i23св(t)

Свободные составляющие имеют два слагаемых:

iLcв(t) =АL1ер1t+АL2ер2t, где АL1, АL2 - постоянные интегрирования.

iСсв(t)=АС1ер1t+АС2ер2t, где АС1, АС2 - постоянные интегрирования.

I23св(t)=А231ер1t+А232ер2t, где А231, А232 - постоянные интегрирования.

Таким образом, для заданной цепи имеем:

Москва и регионы курсовые на заказ.

iL(t) = iLпр+iLcв(t) = iLпр + АL1ер1t+АL2ер2t 

iС(t) = iСпр+iСсв(t) = iСпр +  АС1ер1t+АС2ер2t

i23(t) = i23пр +i23св(t) = i23пр + А231ер1t+А232ер2t

1.1.5. Рассчитаем зависимые начальные условия - искомые функции и их производные на момент коммутации  t=+0. В рассматриваемом примере это iL(0) и iL'(0); iC(0) и iC'(0); i1(0) и i1'(0).

По законам Кирхгофа составляем систему уравнения для схемы после коммутации:

iL - iC - i23=0                                      (1)

                                          (2)

                               (3)

Выразим из уравнения (1) ток iC= iL - i23 , и, подставив его в уравнениz (2) и (3), получим:

Уравнения  справедливы для интервала времени [0+,∞]. Рассмотрим уравнения (1), (2), (3) в момент времени t=+0

iC(+0)= iL(+0) - i23(+0)                                                   (4)

                (5)             

                                               (6)

C учетом, что iL(+0)=0,3 А и uС(+0)=60 В известны, найдем начальные значения остальных величин.

Проверка: 

Для вычисления производных токов продифференцируем в уравнениях (1) и (6) левые и правые части уравнений, и, учитывая, что dU/dt=0, получим

iС' = iL' - i23'

0 =  i23'(R23 + R1) - iL' R1- u'C

Примем во внимание, что iС=С(duС/dt), откуда имеем: uC'=(duС/dt)=iС/С.

С учетом начального значения (iС(+0) = -0,075 А) получим:

uС' = iC(+0)/С = -0,075/(50·10-6) = -1500 В/с.

Примем во внимание, что uL =L(diL/dt), откуда имеем: iL'=(diL/dt)=uL/L.

С учетом начального значения (uL(+0) =22,5 В) получим:

uL'(0) = uL(0)/L = 22,5/0,5 = 45 А/с.

1.1.6. Определим постоянные интегрирования.

Обратимся к общему виду искомого колебательного процесса iL(t) и его производной:

iL(+0) = iLпр+ АL1ер1t + АL2ер2t

 (+0) = 0 +p1АL1ер1t +p2АL2ер2t

и подставим в них t=0, тогда:

iL(0) = iLпр+ АL1+ АL2

 (0) = p1АL1 +p2АL2

После подстановки численных значений получим систему двух уравнений.

Решим данную систему уравнений в программном комплексе Maple15, получим следующее выражение для тока катушки:

При этом отметим, что в данном программном обеспечении за неизвестные первого порядка принимаются корни характеристического уравнения, относительно которых и выполняется расчет постоянных интегрирования (в нашем случае они равны для всех токов).

Для токов остальных ветвей расчет выполняется по аналогичной методики с помощью ЭВМ.

1.1.7. Запишем полученные численные ответы:

iL(t) = iLпр+АL1ер1t +АL2ер2t = 0,235 +0,149ер1t + 0,149ер2t=

=0,235+0,149е-100t +0,149е-100t, А.

iC(t) = iCпр+ АC1ер1t + АC2ер2t   , А.

i23(t) = i23пр+ А231ер1t +А232ер2t   ,

                Отметим, что так как значения сопротивлений R2 и R3 одинаковые по модулю и носят чисто активный характер, то можно сказать, что токи

і2 = і3 =і23/2=

2. Расчет операторним методом

Операторным методом расчёта найти выражение для токов в цепи.

1. Составим расчетную операторную схему для электрической цепи в послекоммутационный период: в ней индуктивность L заменим сопротивлением рL, емкость - сопротивлением 1/(рС), источник постоянного напряжения U - изображением U/р. Кроме того для учета независимых начальных условий в схему вводятся источники напряжения: LiL(0), последовательно с индуктивностью, uС(0)/р последовательно с емкостью (направление uС(0)/р противоположно условному положительному направлению тока в конденсаторе). Операторная схема замещения приведена на рис. 4.

Начальные условия переходного процесса в электрической цепи определены в первом пункте предыдущего расчета: iL(0)=0,3 А;  uС(0)=60 В.

Т.к. в рассматриваемом примере  iL(0)=0, то источник напряжения LiL(0) в операторной схеме будет отсутствовать.

Рис. 4. Схема замещения для операторного метода

Составим систему уравнений по методу контурных токов:

Выразим из первого уравнения

(1):   

Полученное выражение подставляем во второе выражение сисиемы. При этом все приводим к общему знаменателю.

(2): 

Приведем подобные и упростим полученное выражение:

Выражение для второго контурного тока примет вид:

Получим выражение для первого контурного тока:

Далее можем выразить значение тока в третьей ветви:

В таком случае числитель и знаменатель будут равны:

Выполняем подставновку численных значений:

Корни знаменателя

        Для нахождения значений токов применим теорему разложения:

Здесь предварительно находим хначения N(p) и M'(p) в точках p1, p2, р3:

M'(p1)= 2000000;

M'(p2) = 16000000;

M'(p3) = 16000000;

N(p1)= 1200000;

N (p2) = 4050000;

N(p3) = 4050000;

                Окончательно имеем:

Получим выражение для тока первой ветви:

В таком случае числитель и знаменатель будут равны:

Выполняя анологичные операции, как для тока i23 в программном обеспечении Maple15, получим следующее выражение для тока iL:

на конденсаторе:

iC= iL- i23=

Отметим, что так как значения сопротивлений R2 и R3 одинаковые по модулю и носят чисто активный характер, то можно сказать, что токи

і2 = і3 =і23/2=

                Как видим, значения токов, полученные в результате расчета переходного процесса классическим и операторным методом полностью совпадают, что должно свидетельствовать о правильности выполненных расчетов.

                Для полученных выражений токов построим графики зависемостей i(t).

Результаты расчетов для нескольких промежутков времени приведены в таблице 2.

                Графики, постороенные в программе Excel, представлены на рис. 5.

Таблица 2. Построение графиков зависимости i(t)

t, мс       iL(t), А   iС(t), А  i1(t), А

0             0             0             0

5             0,776     -0,282    0,495

10           1,014     -0,325    0,689

15           1,046     -0,286    0,760

20           1,008     -0,228    0,780

25           0,955     -0,173    0,782

30           0,906     -0,129    0,777

35           0,865     -0,094    0,771

40           0,834     -0,068    0,766

45           0,811     -0,049    0,762

50           0,794     -0,035    0,759

55           0,782     -0,025    0,756

60           0,773     -0,018    0,755

65           0,766     -0,013    0,753

70           0,762     -0,009    0,752

Рис. 5. Графики зависимостей i(t) для постоянного тока

3. При действии синусоидальной э.д.с. рассчитать ток, протекающий в ветви с э.д.с. методом отделения принужденной

составляющей от свободной.

1.            Начальные условия для схемы рис. 1 (рассматриваем работу схемы до коммутации)

UС(-0) = 60

  = 

IL=   =  

 

 

 

 

 

UC= ∙5,627sin(314t-43,21)= 7,958sin(314t-43,21)

 

iL =  ∙0,223sin(314t +39,54) = 0,315(sin314t +39,54)

 

UC(-0)=5,627sin(-43,21)=-3,853 (B)

 

iL(-0) = 0,315sin(39,54) =0,201(A)

 

2.            Принужденная составляющая :

iLвын

Cистемa уравнений по закону Кирхгофа :

            (*)

Возьмем уравнения (5) и (6), полученные по законам Кирхгофа для момента времени t=+0 в пункте 1 данной курсовой работы:

                (5)             

                                               (6)

Из уравнения (6) выражаем:

                                               (7)

Тогда из (5) и (7) можем получить выражение для  :

Полученное значение подставляем в систему уравнений (*):

     Учитываем, что в данном случае А1=А2, т.к. t=+0   

Ток катушки:

Для полученного выражения тока построим график зависемости iL(t).

Результаты расчетов для нескольких промежутков времени приведены в таблице 3.

                График, постороенныq в программе Excel, представлены на рис. 6.

Таблица 3. Построение графикa зависимости iL(t)

t, мс       iL(t), А

0             0,390

5             0,121

10           -0,151

15           -0,332

20           -0,313

25           -0,106

30           0,165

35           0,337

40           0,306

45           0,091

50           -0,178

55           -0,341

60           -0,298

65           -0,077

70           0,191

Рис. 6. График зависимости iL(t) для переменного тока

Москва и регионы курсовая на заказ.

 

 

 


Автор: Ирина Пономарева
Категория: Курсовые Технические
URL: http://www.p-cap.ru

Оценка статьи:( Доступно только после регистрации )

Комментарии

Оставьте ваш комментарий: [спам и оскорбительные сообщения будут удалены]
Комментарий:
Осталось символов:

Яндекс.Метрика